Question

【題目】如圖，要利用一半徑為的圓形紙片制作三棱錐形包裝盒.已知該紙片的圓心為，先以為中心作邊長為（單位：）的等邊三角形，再分別在圓上取三個(gè)點(diǎn)，，，使，，分別是以，，為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合于點(diǎn)，即可得到正三棱錐.

（1）若三棱錐是正四面體，求的值；

（2）求三棱錐的體積的最大值，并指出相應(yīng)的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值為，此時(shí).

【解析】

（1）因?yàn)槿�棱錐是正四面體，所以是正三角形，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，算出，由即可得到答案；

（2）易得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值即可得到體積的最大值.

（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，

在中，， ，

則.

因?yàn)槿�棱錐是正四面體，

所以是正三角形，

所以，即，解得.

（2）在中，，，

所以高.

由可得，.

所以三棱錐的體積

.

設(shè)函數(shù)，，

則.

令得，.列表如下：

		0
		極大值

所以在時(shí)取最大值，

所以.

所以，所以.

所以三棱錐體積的最大值為，此時(shí).