Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離的比值為,設(shè)動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡為曲線..

（1）求曲線的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,垂足為，過(guò)點(diǎn)作,垂足為,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義可得出曲線的方程；

（2）要求的取值范圍，通過(guò)統(tǒng)一定義可轉(zhuǎn)化求的取值范圍，根據(jù)圖形又可以轉(zhuǎn)化為求的取值范圍，運(yùn)用韋達(dá)定理進(jìn)行減元，構(gòu)造函數(shù)求出結(jié)果。

解:（1）設(shè),

由題意,得，

整理化簡(jiǎn)得，

故曲線的方程為，

（2）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，

當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，

設(shè)直線的方程為

由消去,

化簡(jiǎn)整理得，，

顯然，

由韋達(dá)定理可得：

設(shè)，

即

①

②

由①②消去，可得

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

解得且，

綜合（ⅰ）（ⅱ）得：

綜上得：。