Question

在拋物線y²=4x上求一點P，使得點P到直線y=x+3的距離最短．

Answer 1

分析：先設出與直線平行且與拋物線相切的直線y=x+b，與拋物線聯立消去x，根據判別式等于0求得b，則切線方程可得，進而與拋物線方程聯立求得切點的坐標，進而根據點到直線的距離求得答案．

解答：解：該命題可轉化為求一條平行于y=x+3的直線y=x+b與拋物線y²=4x相切，
求出切點，此時點P到直線y=x+3的距離最短，
聯立方程

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0
令△=0，即（2b-4）²-4b²=0，∴b=1
故x=1，y=2，P為（1，2）
∴拋物線y²=4x上一點P（1，2），使得點P到直線y=x+3的距離最短．

點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生數形結合和轉化與化歸的思想．