Question

已知定義在[1，+∞）上的函數f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

．給出下列結論：
①函數f（x）的值域為[0，4]；
②關于x的方程f(x)=(

1

2

)n(n∈N*)有2n+4個不相等的實數根；
③當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時，函數f（x）的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S=2；
④存在x₀∈[1，8]，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立，
其中你認為正確的所有結論的序號為

①③

．

Answer 1

分析：將解析式進行整理，分別得到函數在1≤x≤

3

2

和

3

2

＜x≤2時，進而得到0≤f（x）≤4；依此類推：當2^n-1≤x≤3•2^n-2時，f（x）=2^5-2n（x-2^n-1）；當3•2^n-2＜x≤2ⁿ時，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此時，0≤f（x）≤2^3-n．
據此即可判斷答案．

解答：解：∵f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，
∴（1）當1≤x≤

3

2

時，f（x）=8-8x；
此時，0≤f（x）≤4；
當

3

2

＜x≤2時，f（x）=16-8x，
此時0≤f（x）＜4；
（2）當2＜x≤3時，則1＜

x

2

≤

3

2

，
此時f（x）=

1

2

(8×

x

2

-8)=8×

x

22

-4=2x-4，
0≤f（x）≤2；
當3＜x≤4時，則

3

2

＜x≤2，
此時f（x）=

1

2

(16-8×

x

2

)=8-8×

x

22

=8-2x，0≤f（x）＜2；
…
依此類推：當2^n-1≤x≤3•2^n-2時，f（x）=

23-n

3×2n-2-2n-1

（x-2^n-1）=2^5-2n（x-2^n-1），
此時，0≤f（x）≤2^3-n；
當3•2^n-2＜x≤2ⁿ時，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此時，0≤f（x）≤2^3-n．
故函數f（x）的值域為[0，4]，①正確；
當n=1時，f(x)=

1

2

，有且僅有7個不等實數根，不是2×1+4=6個不等實數根，故②不正確；
當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時，函數f（x）的圖象與x軸圍成的面積S=

1

2

（2ⁿ-2^n-1）×2^3-n=2，故③正確；
由于xf（x）＞6，則f(x)＞

6

x

，
由f（x）的圖象可得到：當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時，
f（x）≤f（3•2^n-2）=2^3-n=

6

3•2n-2

可得：f(x)≤

6

x

，故④不正確．
故答案為：①③．

點評：本題綜合考查了分類討論思想方法、直線方程、函數的單調性、函數的交點與方程的根、如何否定一個命題等基礎知識與基本技能，考查了數形結合的方法與能力、類比推理能力和計算能力．