Question

已知定義在[1，4]上的函數f（x）=x²-2bx+

b

4

（b≥1），
（ I）求f（x）的最小值g（b）；
（ II）求g（b）的最大值M．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數的解析式，可得f（x）=（x-b）²-b²+

b

4

的對稱軸為直線x=b（b≥1），分當1≤b≤4時，和b＞4時，兩種情況，分析函數在區間[1，4]上的單調性，可得f（x）的最小值g（b）；
（ II）結合（I）中所得g（b）的解析式，根據分段函數分段處理的原則，分別求出各段上函數的最大值，比照后可得g（b）的最大值M．

解答：解：f（x）=（x-b）²-b²+

b

4

的對稱軸為直線x=b（b≥1），
（ I）①當1≤b≤4時，g（b）=f（b）=-b²+

b

4

；
②當b＞4時，g（b）=f（4）=16-

31

4

b，
綜上所述，f（x）的最小值g（b）=

-b2+ b 4 (1≤b≤4) 16- 31 4 b(b＞4)

．
（ II）①當1≤b≤4時，g（b）=-b²+

b

4

=-（b-

1

8

）²+

1

64

，
∴當b=1時，M=g（1）=-

3

4

；
②當b＞4時，g（b）=16-

31

4

b是減函數，∴g（b）＜16-

31

4

×4=-15＜-

3

4

，
綜上所述，g（b）的最大值M=-

3

4

．

點評：本題考查的知識點是二次函數在閉區間上的最值，函數單調性的性質，其中熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答本題的關鍵．