Question

已知平面上的動點Q到定點F（0，1）的距離與它到定直線y=3的距離相等．
（1）求動點Q的軌跡C₁的方程；
（2）過點F作直線l₁交C₂：x²=4y于A，B兩點（B在第一象限）．若|BF|=2|AF|，求直線l₁的方程．
（3）試問在曲線C₁上是否存在一點M，過點M作曲線C₁的切線l₂交拋物線C₂于D，E兩點，使得DF⊥EF？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出Q的坐標，根據條件推斷出x和y的關系式，化簡求得x和y的關系，即曲線的方程．
（2）設出A，B，利用拋物線的定義，表示出|AF|和|BF|，進而利用|BF|=2|AF|，求得y₂和y₁的關系，令直線AB的方程x=t（y-1），與拋物線方程聯立消去x，表示出y₁+y₂和y₁y₂，聯立求得y₁和y₂，代入方程②求得t，進而求得t．則直線AB的方程可得．
（3）設出M的坐標，對拋物線方程求導，進而求得切線l₂的斜率，表示出l₂的方程，同時利用m和n的關系式，表示出切線的方程與拋物線方程聯立，設D，E的坐標，表示出x₁+x₂和x₁x₂，根據FD⊥FE，推斷出x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=0獲得關于m的方程，求得m，進而通過m和n的關系式求得n．

解答：解：（1）設Q（x，y），
由條件有

x2+(y-1)2

=|y-3|，
化簡得曲線C₁的方程為：x²=-4y+8．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
由|BF|=2|AF|，得y₂=2y₁+1①
令直線AB方程為x=t（y-1）
由

x=t(y-1) x2=4y

?t2y2-(2t2+4)y+t2=0，
則

y1+y2= 2t2+4 t2 ① y1•y2=1 ②

由①和③聯立解得：y1=

1

2

，y2=2
代入②得：t²=8
依題意直線AB的斜率大于0，即t＞0，
所以t=2

2

故直線AB的方程為x-2

2

y+2

2

=0
（3）設M（m，n），由于y′=-

x

2

，
則切線l₂的斜率為k=-

m

2

，
切線l₂的方程為y-n=-

m

2

(x-m)，
又n=2-

m2

4

，
則切線l的方程為y=-

m

2

x+

m2

4

+2．
由

y=- m 2 x+ m2 4 +2 x2=4y

?x2+2mx-m2-8=0．，
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-2m
x₁x₂=-m²-8，
∴y1+y2=-

m

2

(x1+x2)+

m2

2

+4=

3m2

2

+4，
y1y2=

(x1x2)2

16

=

(m2+8)2

16

．
又FD⊥FE，則x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
則-m²-8+

(m2+8)2

16

-(

3m2

2

+4)+1=0，
設t=m²+8，則有

t2

16

-t-

3

2

(t-8)-3=0，即t²-40t+144=0，
得t=36，t=4（舍去）．
所以t=m²+8=36，得m=±2

7

，n=-5．
故存在點M滿足題意，此時點M的坐標是(±2

7

，-5)．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了分析推理和基本的運算能力．