Question

如圖，平面上定點F到定直線l的距離|FM|=2，P為該平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為Q，且(

PF

+

PQ

)•(

PF

-

PQ

)=0．
（1）試建立適當的平面直角坐標系，求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點N，已知

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，求證：λ1+λ2為定值．

Answer 1

分析：（1）方法一：先建坐標系，求出對應點的坐標直接利用向量的數量積計算即可求動點P的軌跡C的方程；
方法二：先由(

PF

+

PQ

)•(

PF

-

PQ

)=0得，|

PQ

|=|

PF

|，知道動點P的軌跡是拋物線，再建坐標系求動點P的軌跡C的方程；
（2）先由已知求得λ₁•λ₂＜0，以及

| NA |

| NB |

=-

λ1

λ2

| AF |

| BF |

，再過A、B兩點分別作準線l的垂線，利用相似比得

| NA |

| NB |

=

| AA1 |

| BB1 |

=

| AF |

| BF |

，二者相結合即可得λ₁+λ₂為定值．

解答：解：（1）方法一：如圖，以線段FM的中點為原點O，以線段FM所在的直線為y軸建立直角坐標系xOy．則，F（0，1）．
設動點P的坐標為（x，y），則動點Q的坐標為（x，-1）

PF

=(-x，1-y)，

PQ

=(0，-1-y)，
由(

PF

+

PQ

)•(

PF

-

PQ

)=0，得x²=4y．
方法二：由(

PF

+

PQ

)•(

PF

-

PQ

)=0得，|

PQ

|=|

PF

|．
所以，動點P的軌跡C是拋物線，以線段FM的中點
為原點O，以線段FM所在的直線為y軸建立直角坐標系xOy，可得軌跡C的方程為：x²=4y．
（2）由已知

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，得λ₁•λ₂＜0．
于是，

| NA |

| NB |

=-

λ1

λ2

| AF |

| BF |

，①
過A、B兩點分別作準線l的垂線，垂足分別為A₁、B₁，
則有

| NA |

| NB |

=

| AA1 |

| BB1 |

=

| AF |

| BF |

，②
由①、②得λ₁+λ₂=0．

點評：本題考查軌跡方程的求法以及直線與拋物線的綜合問題和向量的數量積．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想，因此，這一部分內容也成了高考的熱點和重點．