Question

已知平面上的動點Q到定點F（0，1）的距離與它到定直線y=3的距離相等．
（1）求動點Q的軌跡C₁的方程；
（2）過點F作直線l₁交C₂：x²=4y于A，B兩點（B在第一象限）．若|BF|=2|AF|，求直線l₁的方程．
（3）試問在曲線C₁上是否存在一點M，過點M作曲線C₁的切線l₂交拋物線C₂于D，E兩點，使得DF⊥EF？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出Q的坐標，根據條件推斷出x和y的關系式，化簡求得x和y的關系，即曲線的方程．
（2）設出A，B，利用拋物線的定義，表示出|AF|和|BF|，進而利用|BF|=2|AF|，求得y₂和y₁的關系，令直線AB的方程x=t（y-1），與拋物線方程聯立消去x，表示出y₁+y₂和y₁y₂，聯立求得y₁和y₂，代入方程②求得t，進而求得t．則直線AB的方程可得．
（3）設出M的坐標，對拋物線方程求導，進而求得切線l₂的斜率，表示出l₂的方程，同時利用m和n的關系式，表示出切線的方程與拋物線方程聯立，設D，E的坐標，表示出x₁+x₂和x₁x₂，根據FD⊥FE，推斷出x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=0獲得關于m的方程，求得m，進而通過m和n的關系式求得n．
解答：解：（1）設Q（x，y），
由條件有，
化簡得曲線C₁的方程為：x²=-4y+8．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
由|BF|=2|AF|，得y₂=2y₁+1①
令直線AB方程為x=t（y-1）
由，
則
由①和③聯立解得：
代入②得：t²=8
依題意直線AB的斜率大于0，即t＞0，
所以
故直線AB的方程為
（3）設M（m，n），由于，
則切線l₂的斜率為，
切線l₂的方程為，
又，
則切線l的方程為．
由．，
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-2m
x₁x₂=-m²-8，
∴，
．
又FD⊥FE，則x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
則-m²-8+，
設t=m²+8，則有，即t²-40t+144=0，
得t=36，t=4（舍去）．
所以t=m²+8=36，得．
故存在點M滿足題意，此時點M的坐標是．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了分析推理和基本的運算能力．