Question

已知點P（2，1），若拋物線y²=4x的一條弦AB恰好是以P為中點，則弦AB所在直線方程是

 

．

Answer 1

分析：先設出直線方程，再聯立直線方程與拋物線方程整理可得A，B的橫坐標與直線的斜率之間的關系式，結合弦AB恰好是以P為中點，以及中點坐標公式即可求出直線的斜率，進而求出直線方程．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB所在直線方程為：y-1=k（x-2）
即y=kx+1-2k
聯立

y=kx+1-2k y2=4x

整理得k²x²+[2k（1-2k）-4]x+（1-2k）²=0．
所以有x₁+x₂=-

2k(1-2k)-4

k2

∵弦AB恰好是以P為中點，
∴-

2k(1-2k)-4

k2

=4
解得k=2．
所以直線方程為 y=2x-3，即2x-y-3=0．
故答案為：2x-y-3=0．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關鍵在于利用中點坐標公式以及韋達定理得到關于直線的斜率的等式．