Question

H：x-y+z=2為坐標(biāo)空間中一平面，L為平面H上的一直線．已知點(diǎn)P（2，1，1）為L上距離原點(diǎn)O最近的點(diǎn)，則

 

為L的方向向量．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的平面的方程，寫出平面的一個(gè)法向量，設(shè)出直線的一個(gè)方向向量，根據(jù)兩個(gè)向量之間的關(guān)系得到兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0，求出未知數(shù)，得到要求的直線的方向向量．

解答：解：∵x-y+z=2為坐標(biāo)空間中一平面
∴平面的一個(gè)法向量是

n

=(1，-1，1)
設(shè)直線L的方向向量為

d

=(2，b，c)
∵L在H上，
∴

d

與平面H的法向量

n

=(1，-1，1)垂直
故

d

•

n

=0?2-b+c=0
∵P（2，1，1）為直線L上距離原點(diǎn)O最近的點(diǎn)，
∴

.

OP

⊥L
故

OP

•

d

=0?(2，1，1)•(2，b，c)=0?4+b+c=0
解得b=-1，c=-3
故答案為：（2，-1，-3）

點(diǎn)評：本題考查空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，本題解題的關(guān)鍵是寫出平面的法向量，然后根據(jù)兩個(gè)向量之間的關(guān)系得到結(jié)論．