Question

已知函數f（x）=x²-

2

3

ax³（a＞0），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）若對于任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數在某點取得極值的條件,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數，利用導數的正負，可得f（x）的單調區間，從而求出函數的極值；
（Ⅱ）由f（0）=f（

3

2a

）=0及（Ⅰ）知，當x∈（0，

3

2a

）時，f（x）＞0；當x∈（

3

2a

，+∞）時，f（x）＜0．設集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={

1

f(x)

|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，則對于任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，等價于A⊆B，分類討論，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2x-2ax²=2x（1-ax），令f（x）=0，解得x=0或x=

1

a

．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	0	遞增	1 3a2	遞減

所以，f（x）的單調遞減區間為：（-∞，0）和(

1

a

，+∞)，單調遞增區間為(0，

1

a

)，
當x=0時，有極小值f（0）=0，當x=

1

a

時，有極大值f（

1

a

）=

1

3a2

；

（Ⅱ）由f（0）=f（

3

2a

）=0及（Ⅰ）知，當x∈（0，

3

2a

）時，f（x）＞0；當x∈（

3

2a

，+∞）時，f（x）＜0．
設集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={

1

f(x)

|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，則對于任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，等價于A⊆B，顯然A≠∅
下面分三種情況討論：
①當

3

2a

＞2，即0＜a＜

3

4

時，由f（

3

2a

）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；
②當1≤

3

2a

≤2，即

3

4

≤a≤

3

2

時，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上單調遞減，故A=（-∞，f（2）），∴A⊆（-∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范圍包含（-∞，0），即（-∞，0）⊆B，∴A⊆B；
③當

3

2a

＜1，即a＞

3

2

時，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上單調遞減，故B=（

1

f(1)

，0），A=（-∞，f（2）），∴A不是B的子集．
綜上，a的取值范圍是[

3

4

，

3

2

]．

點評：利用導數可以求出函數的單調區間和極值；解決取值范圍問題，很多時候要進行等價轉化，分類討論．