Question

【題目】已知函數．

（1）當時，利用函數單調性的定義判斷并證明的單調性，并求其值域；

（2）若對任意,求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) a>－3.

【解析】試題分析：（I）利用函數單調性的定義，設1≤，利用作差法比較f（x1）與f（x2）的大小，進而證明函數f（x）為單調減函數，再利用單調性求函數最值即可；
（II）根據題意：“對任意x∈[1，+∞)， ,恒成立，只需對任意恒成立，再設，利用二次函數的性質求出最小值，即可得到實數a的取值范圍．

試題解析：

(1) 任取 則

,

當

∵∴，恒成立 ∴ ∴上是增函數，

∴當x=1時，f(x)取得最小值為,∴f(x)的值域為

(2) ,

∵對任意,恒成立

∴只需對任意恒成立。設

∵g(x)的對稱軸為x=－1, ∴只需g(1)>0便可， g(1)=3+a>0,

∴a>－3。