Question

【題目】如圖，是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，其中，．過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，直線交拋物線于點(diǎn).

（1）求的值；

（2）求四邊形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的二次方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合可求出正數(shù)的值；

（2）由直線與坐標(biāo)軸不垂直，所以設(shè)方程為，并設(shè)點(diǎn)，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，并求出，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，并可得出直線的方程，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得出點(diǎn)的坐標(biāo)，并分別計(jì)算出點(diǎn)、到直線的距離、，利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的表達(dá)式，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出的最小值.

（1）設(shè)方程為，與聯(lián)立，消去整理得，

所以，得（舍去）或；

（2）由（1）知拋物線方程為，，準(zhǔn)線方程為.

因?yàn)橹本�與坐標(biāo)軸不垂直，所以設(shè)方程為，，

由得，，，

所以，

令，則，所以，，

直線的方程為，由得，

所以，，代入，得，所以.

到直線的距離為，到直線的距離為，

所以四邊形的面積，

令，則，令，則.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，

因此，四邊形的面積的最小值為.