Question

【題目】已知橢圓的下頂點為，右頂點為，離心率，拋物線的焦點為，是拋物線上一點，拋物線在點處的切線為，且.

(1)求直線的方程；

(2)若與橢圓相交于，兩點，且，求的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】【試題分析】（1）利用題目所給離心率的值求出直線的斜率，即直線的斜率。利用導數求得切點坐標并求出切線方程.（2）聯立直線方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用三角形的面積列方程求得的值，進而求得橢圓的方程.

【試題解析】

（Ⅰ）因為， 所以， 所以

又因為∥， 所以的斜率為

設，過點與相切的直線，由得，解得

所以， 所以直線的方程為

（Ⅱ）設，由

得，，

且，即，

所以，

【法一】中，令得，交軸于,

又拋物線焦點，所以

所以，解得，

所以橢圓的方程

【法二】

，拋物線焦點，則

所以，解得，

所以橢圓的方程