Question

【題目】平面直角坐標系中，已知橢圓（）的左焦點為，離心率為，過點且垂直于長軸的弦長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點分別是橢圓的左、右頂點，若過點的直線與橢圓相交于不同兩點、．

①求證：；

②求面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①見解析②面積的最大值是

【解析】試題分析：（1）根據題意得，，又，即可得方程；

（2）①當時，顯然，滿足題意；當時，設，，直線方程為，代入橢圓方程，整理得，由，結合韋達定理即可得解；

②由結合韋達定理得，利用均值不等式求最值即可.

試題解析：

（1）由題意可得，

令，可得，即有，

又，所以，．

所以橢圓的標準方程為；

（2）①當時，顯然，滿足題意；

當時，設，，直線方程為，

代入橢圓方程，整理得，

則，所以．

，

則

．

則，即；

②

當且僅當，即．（此時適合的條件）取得等號．

則面積的最大值是．