Question

（2012•山東）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意及圖可得，先由條件證得AD⊥BD及AE⊥BD，再由線面垂直的判定定理即可證得線面垂直；
（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，可得出AC⊥BC，結合FC⊥平面ABCD，知CA，CA，CF兩兩垂直，因此可以C為坐標原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為X軸，Y軸，Z軸建立如圖的空間直角坐標系，設CB=1，表示出各點的坐標，再求出兩個平面的法向量的坐標，由公式求出二面角F-BD-C的余弦值即可；
解法二：取BD的中點G，連接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可證明出∠FGC為二面角F-BD-C的平面角，再解三角形求出二面角F-BD-C的余弦值．

解答：（I）證明：因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，
所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，
又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD?平面AED，
所以BD⊥平面AED；
（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，所以AC⊥BC，
又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直，以C為坐標原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為X軸，Y軸，Z軸建立如圖的空間直角坐標系，
不妨設CB=1，則C（0，0，0），B（0，1，0），D（

3

2

，-

1

2

，0），F（0，0，1），因此

BD

=（

3

2

，-

3

2

，0），

BF

=（0，-1，1）
設平面BDF的一個法向量為

m

=（x，y，z），則

m

•

BF

=0，

m

•

BD

=0
所以x=

3

y=

3

z，取z=1，則

m

=（

3

，1，1），
由于

CF

=（0，0，1）是平面BDC的一個法向量，
則cos＜

m

，

CF

＞=

m • CF

| CF || m |

=

1

5

=

5

5

，所以二面角F-BD-C的余弦值為

5

5

解法二：取BD的中點G，連接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，FC，CG?平面FCG．
所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC為二面角F-BD-C的平面角，
在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，
因此CG=

1

2

CB，又CB=CF，
所以GF=

CG2+CF2

=

5

CG，
故cos∠FGC=

5

5

，
所以二面角F-BD-C的余弦值為

5

5

點評：本題考查線面垂直的證明與二面角的余弦值的求法，解題的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理及二面角的兩種求法-向量法與幾何法，本題是高中數學的典型題，也是高考中的熱點題型，尤其是利用空間向量解決立體幾何問題是近幾年高考的必考題，學習時要好好把握向量法的解題規律．