Question

（2012•山東）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求證：a，b，c成等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（I）由已知，利用三角函數(shù)的切化弦的原則可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用兩角和的正弦公式及三角形的內(nèi)角和公式代入可得sin²B=sinAsinC，由正弦定理可證
（II）由已知結(jié)合余弦定理可求cosB，利用同角平方關(guān)系可求sinB，代入三角形的面積公式S=

1

2

acsinB可求．

解答：（I）證明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC
∴sinB（

sinA

cosA

 + 

sinC

cosC

）=

sinAsinC

cosAcosC

∴sinB•

sinAcosC+sinCcosA

cosAcosC

=

sinAsinc

cosAcosC

∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc
∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
∵A+B+C=π
∴sin（A+C）=sinB
即sin²B=sinAsinC，
由正弦定理可得：b²=ac，
所以a，b，c成等比數(shù)列．
（II）若a=1，c=2，則b²=ac=2，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

4

，
∵0＜B＜π
∴sinB=

1-cos2B

=  

7

4

∴△ABC的面積S=

1

2

acsinB=

1

2

×1×2×

7

4

=

7

4

．

點評：本題主要考查了三角形的切化弦及兩角和的正弦公式、三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用及余弦定理和三角形的面積公式的綜合應(yīng)用．