Question

【題目】已知函數f（x）=emx﹣lnx﹣2．
（1）若m=1，證明：存在唯一實數t∈（ ，1），使得f′（t）=0；
（2）求證：存在0＜m＜1，使得f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）證明：m=1時，f（x）=ex﹣lnx﹣2，f′（x）=ex﹣ ，x＞0．

顯然f′（x）在（0，+∞）上單調遞增，又f′（ ）＜0，f′（1）＞0，

故存在唯一實數t∈（ ，1），使得f′（t）=0

（2）證明：f′（x）=memx﹣ =m（emx﹣ ），

由0＜m＜1得f′（x）在（0，+∞）上單調遞增，

由（1）．得mx0=t時，f′（x0）=0，

所以f（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，

即f（x）的最小值為f（x0）=f（ ）=et﹣lnt+lnm﹣2，

∵et﹣ =0，∴et= ，t=﹣lnt．

于是f（x0）=f（ ）= +t+lnm﹣2，所以當lnm＞2﹣（ +t）時，f（x）＞0．

取k=2﹣（ +t）＜0，故m∈（ek，1）時成立

【解析】（1）m=1時，化簡函數f（x）=ex﹣lnx﹣2，求出函數的導數，判斷函數的單調性，通過f′（ ）＜0，f′（1）＞0，利用零點判定定理證明即可．（2）求出f′（x）=memx﹣ =m（emx﹣ ），利用由0＜m＜1得f′（x）在（0，+∞）上單調遞增，由（1）得mx0=t時，f′（x0）=0，求出函數單調性以及最值，然后證明即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．