Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0 ） 經過點 P（1， ），離心率 e=
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）設過點E（0，﹣2 ） 的直線l 與C相交于P，Q兩點，求△OPQ 面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由點 在橢圓上得， ①
又e= = ②，c2=a2﹣b2③
由①②③得c2=3，a2=4，b2=1，
故橢圓C的標準方程為 ．
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在，不合題意，可設直線l：y=kx﹣2，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
將y=kx﹣2代入橢圓方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
由△=162k2﹣48（1+4k2）＞0，解得k＞ 或k＜﹣ ．
x1+x2= ，x1x2= ，
|PQ|= |x1﹣x2|= =4 ，
又O到直線PQ的距離d= ，
則S△OPQ= d|PQ|=4 ，
設t= ，（t＞0），則4k2=3+t2 ，
即有S△OPQ= =
由t+ ≥2 =4，
當且僅當t=2，即k=± 時等號成立，足判別式大于0．
則S△OPQ≤1．
故△OPQ 面積的最大值為1
【解析】（Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，以及a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）當直線l的斜率不存在，不合題意，可設直線l：y=kx﹣2，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），聯立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用判別式大于0和韋達定理，以及弦長公式，點到直線的距離公式，由三角形的面積公式，運用換元法和基本不等式即可得到所求最大值．