Question

【題目】已知圓C經過點A（1，1）和B（4，﹣2），且圓心C在直線l：x+y+1=0上．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）設M，N為圓C上兩點，且M，N關于直線l對稱，若以MN為直徑的圓經過原點O，求直線MN的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（4，﹣2）∴直線AB的斜率
∴直線AB的垂直平分線的斜率為1
又線段AB的中點坐標為
∴線段AB的垂直平分線的方程是 ，即x﹣y﹣3=0
∵圓心C在直線l：x+y+1=0上
∴圓心C的坐標是方程組 的解，得圓心C的坐標（1，﹣2）
∴圓C的半徑長
∴圓C的標準方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9
（Ⅱ）設以MN為直徑的圓的圓心為P，半徑為r
∵M，N是圓C上的兩點，且M，N關于直線l：x+y+1=0對稱
∴點P在直線l：x+y+1=0上
∴可以設點P坐標為（m，﹣1﹣m）
∵以MN為直徑的圓經過原點O
∴以MN為直徑的圓的半徑長
∵MN是圓C的弦，
∴|CP|2+r2=9，即（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m=﹣1或
∴點P坐標為（﹣1，0）或
∵直線MN垂直直線l：x+y+1=0，
∴直線MN的斜率為1
∴直線MN的方程為：x﹣y+1=0或x﹣y﹣4=0
【解析】（Ⅰ）根據題意，分析可得圓C的圓心是線段AB的垂直平分線與直線l的交點，先求出線段AB的垂直平分線的方程，與直線l聯立可得圓心C的坐標，進而可得圓的半徑，即可得答案；（Ⅱ）設以MN為直徑的圓的圓心為P，半徑為r，可以設p的坐標為（m，﹣1﹣m），結合直線與圓的位置關系可得（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m的值，即可得p的坐標，分析可得直線MN的斜率為1，由直線的點斜式方程可得答案．