Question

【題目】如圖，在斜三棱柱中，AB=1，AC=2，，AB⊥AC，底面ABC.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）以A為原點，分別為x軸，y軸的正方向建立空間直角坐標系，求得向量的坐標，再根據底面，得到，又，由線面垂直的判定定理得到平面，從而是平面的一個法向量，然后由求解.

（2）由（1）知是平面的一個法向量，再求得平面的一個法向量，然后由求解.

（1）以A為原點，分別為x軸，y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

則，

∵底面，底面，

∴，

又∵，，

平面，平面，

∴平面，

∴是平面的一個法向量，

∴，

故所求直線與平面所成角的正弦值為

（2），，

設為平面的一個法向量，

則，

令，得，

得平面的一個法向量為，

又由（1）得是平面的一個法向量，

∴，

故所求面與平面所成銳二面角的余弦值為.