Question

【題目】已知函數.

（1）若對任意的，都有恒成立，求的最小值；

（2）設，若為曲線上的兩個不同的點，滿足，且，使得曲線在點處的切線與直線平行，求證：.

Answer 1

【答案】(1)1；(2)證明見解析

【解析】

(1) 對任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立aln（x+1）﹣x．

令h（x）＝aln（x+1）﹣x（x≥0）．利用導數的運算法則可得h′（x）．

分類討論：當a≥1時，當a＜1時，只要驗證最小值是否大于0即可得出．

(2)p（x）＝f（x﹣1）＝alnx，kAB．利用導數的運算法則可得．由于曲線y＝f（x）在x3處的切線與直線AB平行，可得．利用p′（x）在定義域內單調性質要證：x3．即證明．即證明．變形可得，令，則t＞1．要證明的不等式等價于（t+1）lnt＞2（t﹣1）．構造函數q（t）＝（t+1）lnt﹣2（t﹣1），（t＞1）．利用導數研究其單調性即可證明．

（1）恒成立恒成立，

令，

則，

（i）若，則恒成立，

函數在為單調遞增函數，

恒成立，又，

符合條件.

（ii）若，由，可得，

解得和（舍去），

當時，；

當時，；

∴，這與h（x）≥0相矛盾，應舍去．

綜上，，的最小值為1.

（2），，

又，，

，

由，易知其在定義域內為單調遞減函數，

欲證證明，

即，

變形可得：，

令，原不等式等價于，

等價于，

構造函數，

則，

令，

當時，，

在上為單調遞增函數，，

在上為單調遞增函數，

在上恒成立，

成立，得證.