Question

【題目】已知函數.

（1）若在其定義域上單調遞減，求的取值范圍；

（2）證明：在區間恰有一個零點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

(1) ,如果單調遞減，則當時，恒成立,可求出答案.
(2) 當時，由于在區間單調遞減，且，，命題成立. 當時，由于,方程在區間有唯一的實根，從而在區間單調遞減，在區間單調遞增，可以討論得到命題的證明.

（1）由于的定義域為，且，所以如果單調遞減，則當時，恒成立，解得，即的取值范圍為.

（2）（i）當時，由于在區間單調遞減，且，

，所以區間恰有一個零點；

（ii）當時，由于，

由，設，

對稱軸為，，且.

所以方程在區間有唯一的實根，

從而在區間單調遞減，在區間單調遞增，注意到，

所以區間的零點個數不超過1個.

①當時，由于，所以區間恰有一個零點；

②當時，由于，所以區間恰有一個零點.

綜上，在區間恰有一個零點.