Question

【題目】設(shè)整數(shù)滿(mǎn)足.記.求f的最小值f0.并確定使f=f0成立的數(shù)組的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】；個(gè).

【解析】

根據(jù)題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得到，在結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得最小值，再由對(duì)每個(gè)k(1≤k≤49)，設(shè)等于k的項(xiàng)數(shù)為，結(jié)合方程的正整數(shù)解的組數(shù)，即可求解.

由題意，，

可得， ①

由于及均為非負(fù)整數(shù)，故有，

且，

于是，②

由①，②得，

結(jié)合及，

可知，③

另一方面，令，，，

此時(shí)驗(yàn)證，知上述所有不等式均取到等號(hào)，從而f的最小值.

以下考慮③的取等條件.此時(shí)，且②中的不等式均取等，

即.

因此，且對(duì)每個(gè)k(1≤k≤49)，中至少有兩項(xiàng)等于k.易驗(yàn)證，知這也是③取等的充分條件.

對(duì)每個(gè)k(1≤k≤49)，設(shè)等于k的項(xiàng)數(shù)為，

則nk為正整數(shù)，且，

即，

該方程的正整數(shù)解的組數(shù)為，

且每組解唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)使④取等的數(shù)組，

故使成立的數(shù)組有個(gè).