Question

【題目】已知函數.

（I）求函數的單調區間；

（II）若函數的圖像在點處的切線的傾斜角為，問：在什么范圍取值時，對于任意的，函數在區間上總存在極值？

（III）當時，設函數，若在區間上至少存在一個，使得成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）當時，函數的單調增區間是，單調減區間是，當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；（II）；（III）.

【解析】

試題分析：（I），當時，由得，由得，當時，由得，由得；（II）由題，即，，此時，，則，若在區間上存在極值，則應有，又為開口向上的拋物線，且，所以應有，于是可以求出的取值范圍；（III）時，，令，則，然后分，進行討論，即可以求出的取值范圍.

試題解析：（I）由知 ……………………………1分

當時，函數的單調增區間是，單調減區間是， …………………………… 2分

當時，函數的單調增區間是，單調減區間是， ……………………………3分

（II）由，，

故，

， ……………………………5分

在區間上總存在極值，

有兩個不等實根且至少有一個在區間內

又是開口向上的二次函數，且，

由，解得， ……………………………6分

由，

在上單調遞減，所以，

， ……………………………7分

綜上可得，，

所以當在內取值時，對于任意的，函數在區間上總存在極值.

（III），令，則， ……………………………9分

當時，由得，從而，

所以，在上不存在使得； 10分

當時，，

在上恒成立，

故在上單調遞增.

，

故只要，解得，

綜上所述：的取值范圍是. ……………………………12分