Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，，分別為左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)，.為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1的周長(zhǎng)為可得，由離心率，結(jié)合性質(zhì)可得，，從而可得橢圓的方程是；（2）的方程為，

由，整理得.根據(jù)判別式大于零得，由 ，求出代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，再利用弦長(zhǎng)公式及可得，綜上可得結(jié)果.

試題解析：（1）∵，∴.

又∵，∴，∴，∴橢圓的方程是.

（2）設(shè)，，，的方程為，

由，整理得.

由，得.

∵，，

∴ ，

則， .

由點(diǎn)在橢圓上，得，化簡(jiǎn)得. ①

又由，即，

將，代入得，

化簡(jiǎn)，得，則，，∴. ②

由①，得，聯(lián)立②，解得.

∴或，即.