Question

【題目】已知雙曲線 C 經過點 (2,3)，它的漸近線方程為 y = ±．橢圓 C1與雙曲線 C有相同的焦點，橢圓 C1的短軸長與雙曲線 C 的實軸長相等．

（1）求雙曲線 C 和橢圓 C1 的方程；

（2）經過橢圓 C1 左焦點 F 的直線 l 與橢圓 C1 交于 A、B 兩點，是否存在定點 D ，使得無論 AB 怎樣運動，都有∠ADF = ∠BDF ？若存在，求出 D 點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）存在點D

【解析】

（1）雙曲線的方程為：，則．設橢圓的方程；橢圓的短軸長與雙曲線的實軸長相等，橢圓與雙曲線有相同的焦點即可得、、

（2）直線垂直軸時，、兩點關于軸對稱，要使，則點必在軸上，設，直線不垂直軸時，的方程設為：，設，，，，聯立得．要使，即直線、的斜率互為相反數，即，求得

解：（1）雙曲線方程為：，則．

雙曲線的方程為．

設橢圓的方程；

橢圓的短軸長與雙曲線的實軸長相等，

橢圓的短軸長為，橢圓與雙曲線有相同的焦點，

即，，橢圓的方程為：；

（2）直線垂直軸時，、兩點關于軸對稱，

，要使，則點必在軸上，

設，直線不垂直軸時，的方程設為：，

設，，，，聯立得．

．

，直線、的斜率互為相反數，

即，

時恒成立．

時，；

存在定點，，使得無論怎樣運動，都有．