Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，且，點是棱的中點，平面與棱交于點.

（）求證： .

（）若，且平面平面，

求①二面角的銳二面角的余弦值.

②在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角等于，若存在，確定的位置，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①；②答案見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可證得平面，然后利用線面平行的性質定理可得，

(2)①建立空間直角坐標系，由題意可得平面的一個法向量為；

而為平面的一個法向量.據此計算有二面角的銳二面角的余弦值為.

②假設上存在點滿足題意，利用平面向量的夾角公式得到關于實數的方程，解方程可得，則線段上存在一點，使得直線與平面所成的角等于.

試題解析：

（）證明：∵， 平面， 平面，

∴平面，

又∵平面，且平面平面，

∴，

（）①取的中點，連接， ， ，

∵是菱形，且， ，

∴， 是等邊三角形，

∴， ，

又平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，

以為原點，以， ， 為坐標軸建立空間坐標系，則：

， ， ， ， ， ， .

， ，

設平面的法向量為，則：

，∴，

令得： ；

∵平面，

∴為平面的一個法向量.

∴.

故二面角的銳二面角的余弦值為.

②假設上存在點使得直線與平面所成角等于，

則與所成夾角為，

設，則：

，

，

化簡得： ，

解得： 或（舍），

∴線段上存在一點，使得直線與平面所成的角等于.