Question

【題目】若二次函數滿足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在區間[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1，

∴c=1，∴f（x）=ax2+bx+1

∵f（x+1）﹣f（x）=2x，∴2ax+a+b=2x，

∴

∴f（x）=x2﹣x+1

（2）解：由題意：x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立，

即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立

其對稱軸為 ，∴g（x）在區間[﹣1，1]上是減函數，

∴g（x）min=g（1）=1﹣3+1﹣m＞0，

∴m＜﹣1．

【解析】（1）利用待定系數法求解．由二次函數可設f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，從而問題解決；（2）欲使在區間[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只須x2﹣3x+1﹣m＞0，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0即可，最后求出x2﹣3x+1﹣m的最小值后大于0解之即得．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．