Question

在四面體A-BCD中，共頂點A的三條棱兩兩互相垂直，且AB=AC=1，AD=

2

若四面體的四個頂點在一個球面上，則B，D的球面距離為

2π

3

．

Answer 1

分析：由已知中四面體A-BCD中，共頂點A的三條棱兩兩互相垂直，我們可得四面體的外接球即為以AB，AC，AD為長寬高的長方體的外接球，又由AB=AC=1，AD=

2

，可求出其外接球半徑及弦BD的長，進而求出球心角∠BOD，代入弧長公式，即可求出B，D的球面距離．

解答：解：∵四面體A-BCD中，共頂點A的三條棱兩兩互相垂直，且AB=AC=1，AD=

2

故四面體的外接球即為以AB，AC，AD為長寬高的長方體的外接球
可求得此長方體的體對角線長為2
則球半徑R=1
弦BD=

3

則cos∠BOD=

OB2+OD2-BD2

2OB•OD

=

1+1-3

2

=-

1

2

∴球心角∠BOD=120°
故B，D的球面距離為

120°

360°

•2π×1=

2π

3

故答案為：

2π

3

點評：本題考查的知識點是球面距離及相關計算，余弦定理，弧長公式，其中根據已知條件求出球半徑和球心角是解答本題的關鍵．