Question

（2009•武漢模擬）如圖，在四面體A-BCD中，AB=AD=

2

，BD=2，DC=1，且BD⊥DC，二面角A-BD-C大小為60°．
（1）求證：平面ABC上平面BCD；
（2）求直線CD與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取BD、BC中點分別為M、N，證明AN和兩相交直線BD及MN均垂直，得到AN⊥面BDC，從而證得面ABC⊥面BCD．
（2）由（1）可知平面ABC⊥平面BDC，過D向BC作垂線于足H，從而DH⊥面ABC，解Rt△BDC，求出∠DCH 的正弦值，
即為所求．

解答：解：（1）證明：在四面體A-BCD中，取BD、BC中點分別為M、N，連接MN，則MN∥DC．
∵BD⊥DC，則MN⊥BD． 又AD=AB=

2

，則AM⊥BD，∴∠AMN中，AM=1，MN=

1

2

，∠AMN=60°，可知∠ANM=90°．
又BD⊥面AMN，則BD⊥AN，∴AN和兩相交直線BD及MN均垂直，從而AN⊥面BDC，
又面ABC經過直線AN，故面ABC⊥面BCD．
（2）由（1）可知平面ABC⊥平面BDC，過D向BC作垂線于足H，從而DH⊥面ABC，
在Rt△BDC中，BD=2，DC=1，則DH=

2

5

，于是DC與平面ABC所成角即∠DCH，∴sin∠DCH=

2

5

=

2 5

5

，
因此直線CD與平面ABC所成角的正弦值為

2 5

5

．

點評：本題考查證明兩個平面垂直的方法，求直線和平面所成的角，體現了數形結合的數學思想，找出直線CD與平面ABC所成角，是解題的關鍵．