Question

如圖，在四面體A-BCD中，有CB=CD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F分別為BD，AB的中點，MN∥平面ABD．
（1）求證：平面ABD⊥平面EFC；
（2）如圖，求證：直線MN∥直線GH．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性質可得CE⊥BD，再利用面面垂直的性質可得CE⊥平面ABD，利用面面垂直的判定定理即可證明結論；
（2）利用三角形的中位線定理可得EF∥AD，再利用線面平行的性質及MN∥平面ABD，可得MN∥EF，利用平行線的傳遞性可得MN∥AD，利用線面平行的判定定理可得MN∥平面ACD，再利用線面平行的性質即可得出MN∥GH．

解答：證明：（1）∵CB=CD，E為BD的中點，∴CE⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴CE⊥平面ABD，
∵CE?平面EFC，∴平面ABD⊥平面EFC；
（2）∵點E、F分別為BD，AB的中點，∴EF∥AD．
∵MN∥平面ABD，平面CEF∩平面ABD=EF，
∴MN∥EF，
∴MN∥AD，
而MN?平面ACD，AD?平面ACD，
∴MN∥平面ACD，
∵平面BMN∩平面ACD=GH，
∴MN∥GH．

點評：本題綜合考查了線面平行和垂直的判定定理與性質定理、面面垂直的性質定理、三角形的中位線定理等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力．