Question

【題目】如圖，將邊長為2，有一個銳角為60°的菱形ABCD，沿著較短的對角線BD對折，使得，O為BD的中點.

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求三棱錐的體積；

（Ⅲ）求二面角A-BC-D的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）1（3）

【解析】

（Ⅰ）根據為等邊三角形可以得到，再根據已知的面面垂直可以得到平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可以得到到平面的距離為，故可計算也就是.

（Ⅲ）過作交于，連接，則就是所求二面角的平面角，通過解三角形可以得到二面角的余弦值.

（Ⅰ）證明：因為，平面平面，平面，平面平面，所以平面.

（Ⅱ） .

（Ⅲ）過作于，連接，因為平面，所以為在平面上的射影，故， 所以為二面角的平面角.

在 中，，所以，所以 ， 即二面角的余弦值為.