Question

【題目】設是等差數列，，且，，成等比數列.

（1）求的通項公式；

（2）求的前項和的最小值；

（3）若是等差數列，與的公差不相等，且，問：和中除第5項外，還有序號相同且數值相等的項嗎？（直接寫出結論即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2），或時，取得最小值；（3）和中除第5項外，沒有序號相同且數值相等的項.

【解析】

（1）根據等差數列的基本量和等比中項的性質，得到關于公差的方程，從而得到通項公式；

（2）根據（1）所得的通項，從而得到前項的和；

（3）設的通項，根據列出方程組，得到方程組無解，得到答案.

（1）設等差數列的公差為，.

因為，，成等比數列，

所以，

即有，

解得，

則.

（2）由（1）中等差數列的通項，

所以的前項和，

由于為自然數，可得或時，取得最小值.

（3）設和中除第5項外，還有序號相同且數值相等的項，

設為第項，和相同，則，

設

根據與的公差不相等，可知

由，得，即，

由和相同，得到

則，

即

整理得，

因為且，所以方程無解.

故和中除第5項外，沒有序號相同且數值相等的項.