Question

【題目】已知函數（其中為自然對數的底數，）.

（1）若是函數的極值點，求的值，并求的單調區間；

（2）若時都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

（2）

【解析】

（1）由極值點可知，從而求得；根據導函數的正負即可確定的單調區間；

（2）求導后得到導函數；當和時，可根據導函數正負確定單調遞增，從而，滿足題意；當時，由零點存在定理可知存在，使得時，，由單調性可知不恒成立；從而得到所求范圍.

（1）由得：定義域為，

是的極值點 ，解得：

此時，

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增

的單調遞減區間為，單調遞增區間為

（2），

①當時，恒成立 單調遞增 ，滿足題意

②當時，是上的增函數，且

若，即，則且不恒等于

單調遞增 ，滿足題意

若，即，，

存在，使得

當時，，則單調遞減

即不恒成立，不合題意

綜上所述：實數的取值范圍為