【題目】設橢圓
:
的左右焦點分別為
，
，上頂點為
.
(Ⅰ)若
.
(i)求橢圓的離心率;
(ii)設直線
與橢圓的另一個交點為
，若
的面積為
，求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)由橢圓上不同三點構成的三角形稱為橢圓的內接三角形，當
時，若以為直角頂點的橢圓的內接等腰直角三角形恰有3個，求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)(i)
;(ii)
;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)(i)由勾股定理化簡可得
，進而可得橢圓的離心率;(ii)易知
，故橢圓
:
，求出直線
方程為:
，聯(lián)立直線與橢圓的方程求出
點坐標，計算出
，則
，得到
，進而得出橢圓方程;
(Ⅱ)設橢圓內接等腰直角三角形的兩直角邊分別為
，
，設
，
，顯然，不與坐標軸平行，且
，設直線的方程為
，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式求出
，同理得出
，化簡可得出關于
的方程
有兩個不同的正實根
，
，且都不為1，通過數(shù)形結合思想，轉化求解即可.
(Ⅰ)(i)可知，
，
，
∵
，∴
，
∴
.
∴
.
(ii)由(i)知
，
，
∴橢圓:，
可知直線斜率為1，
，
，
則直線方程為:，
由
，得
，
得
，
，∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，∴
，
∴橢圓的方程為:.
(Ⅱ)
時，橢圓:
，
，
設橢圓內接等腰直角三角形的兩直角邊分別為，，
設，，顯然，不與坐標軸平行，且，
所以不妨設直線的方程為，則直線的方程為
，
由
，消去
得到
，
所以
，
，
求得
，
同理可求
.
因為
為以為直角頂點的等腰直角三角形，所以
，
所以
，
整理得
，
所以
，
所以
或，
所以或，
設
，因為以為直角頂點的橢圓內接等腰直角三角形恰有三個，
所以關于的方程有兩個不同的正實根，，且都不為1.
∵
，
所以
，
解得實數(shù)
的取值范圍是.
小題狂做系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（Ⅰ）求函數(shù)
的單調區(qū)間與極值；
（Ⅱ）若不等式
對任意
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（Ⅲ）求證：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
的前n項和為
，且滿足
，數(shù)列
中，
，對任意正整數(shù)
，
.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）是否存在實數(shù)
，使得數(shù)列
是等比數(shù)列？若存在，請求出實數(shù)及公比q的值，若不存在，請說明理由；
（3）求數(shù)列前n項和
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】方程
的曲線即為函數(shù)
的圖象，對于函數(shù)，有如下結論：①
在
上單調遞減；②函數(shù)
存在零點；③函數(shù)的值域是R；④若函數(shù)
和的圖象關于原點對稱，則函數(shù)
的圖象就是
確定的曲線
其中所有正確的命題序號是________.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在一次購物抽獎活動中，已知某10張獎券中有6張有獎，其余4張沒有獎，且有獎的6張獎券每張均可獲得價值10元的獎品.某顧客從此10張獎券中任意抽取3張.
（1）求該顧客中獎的概率；
（2）若約定抽取的3張獎券都有獎時，還要另獎價值6元的獎品，求該顧客獲得的獎品總價值
（元）的分布列和均值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構認為該事件在一段時間內沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志是“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”，根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標志的是( )
A. 甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4
B. 乙地：總體均值為1，總體方差大于0
C. 丙地：總體均值為2，總體方差為3
D. 丁地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某市教育局衛(wèi)生健康所對全市高三年級的學生身高進行抽樣調查，隨機抽取了100名學生，他們身高都處于
五個層次，根據(jù)抽樣結果得到如下統(tǒng)計圖表，則從圖表中不能得出的信息是（ ）
A. 樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)
B. 樣本中
層次身高人數(shù)最多
C. 樣本中
層次身高的男生多于女生
D. 樣本中
層次身高的女生有3人
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知位于
軸左側的圓
與軸相切于點
且被
軸分成的兩段圓弧長之比為
，直線
與圓相交于
，
兩點，且以
為直徑的圓恰好經過坐標原點
.
（1）求圓的方程；
（2）求直線
的斜率
的取值范圍.
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