Question

（本小題滿分14分）
一個幾何體是由圓柱和三棱錐組合而成，點、、在圓的圓周上，其正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積分別為10和12，如圖2所示，其中，，，．
（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

（本小題主要考查錐體體積，空間線線、線面關(guān)系，三視圖等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．）
（1）證明：因為，，所以，即．
又因為，，所以平面．
因為，所以．………………………………………………………………4分
（2）解：因為點、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑．
設(shè)圓的半徑為，圓柱高為，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得，
…………………………………………6分
解得
所以，．………………………………………………………………………8分
以下給出求三棱錐體積的兩種方法：
方法1：由（1）知，平面，
所以．………………………………………………………………10分
因為，，
所以，即．
其中，因為，，
所以．…………………………………………………13分
所以．…………………………………………………………………14分
方法2：因為，
所以．…………………10分
其中，因為，，
所以．…………………………………………………13分
所以．…………………………………………………………………………14分

解析