Question

【題目】如圖，等高的正三棱錐P-ABC與圓錐SO的底面都在平面M上，且圓O過點A，又圓O的直徑AD⊥BC，垂足為E，設圓錐SO的底面半徑為1，圓錐體積為。

(1)求圓錐的側面積；

(2)求異面直線AB與SD所成角的大小；

(3)若平行于平面M的一個平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為，求三棱錐的側棱PA與底面ABC所成角的大小。

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】

（1）利用圓錐體積可求得圓錐的高，進而得到母線長，根據圓錐側面積公式可求得結果；（2）作交圓錐底面圓于點，則即為異面直線與所成角，在中，求解出三邊長，利用余弦定理可求得，從而得到結果；（3）根據截面面積之比可得底面積之比，求得，進而求得等邊三角形的邊長，利用正棱錐的特點可知若為的中心，則即為側棱與底面所成角，在中利用正切值求得結果.

（1）設圓錐高為，母線長為

由圓錐體積得：

圓錐的側面積：

（2）作交圓錐底面圓于點，連接，

則即為異面直線與所成角

由題意知：，

，又

即異面直線與所成角為：

（3）平行于平面M的一個平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為

又 ，即為邊長為的等邊三角形

設為的中心，連接，則

三棱錐為正三棱錐 平面

即為側棱與底面所成角

即側棱與底面所成角為：