Question

【題目】已知函數，當時，取得極小值.

（1）求的值；

（2）記，設是方程的實數根，若對于定義域中任意的，.當且時，問是否存在一個最小的正整數，使得恒成立，若存在請求出的值；若不存在請說明理由.

（3）設直線，曲線.若直線與曲線同時滿足下列條件：

①直線與曲線相切且至少有兩個切點；

②對任意都有.則稱直線與曲線的“上夾線”.

試證明：直線是曲線的“上夾線”.

Answer 1

【答案】(1)，；(2)答案見解析；(3)證明見解析.

【解析】

(1)由題意可得，，據此可得的值，然后驗證所得的結果滿足題意即可；(2)首先由函數的單調性確定的值，然后求得函數的最大值和最小值，結合恒成立的條件即可確定的值； (3)由題意首先證得直線與曲線相切且至少有兩個切點，然后令，，易證明，據此即可證明直線是曲線的“上夾線”.

(1)由已知，于是得：，

代入可得：，.

此時，.所以.

當時，；當時，.

所以當時，取得極小值，即，符合題意.

(2)，則.所以單調遞增，又.

為的根，即，也即.

，.

，

所以存在這樣最小正整數使得恒成立.

(3)由，得 ，

當時，.

此時，

所以是直線與曲線的一個切點，

當，此時，.

所以也是直線與曲線的一個切點，

即直線與曲線相切且至少有兩個切點，

對任意，.

即，因此直線是曲線的“上夾線”.