Question

【題目】已知函數(shù)在處取得極小值．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)與極值之間的關(guān)系得到，求解即可得到結(jié)果；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值和單調(diào)性，根據(jù)最值的符號，分別討論在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

函數(shù)在處取得極小值

，得

當(dāng)時(shí)，

則時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意

（2）由（1）知，函數(shù)，定義域?yàn)?/span>

則：

令，得；令，得

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，

存在，使

在上有一個(gè)零點(diǎn)

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減

，即當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

取，則

存在，使得

在上有一個(gè)零點(diǎn)

在上有兩個(gè)零點(diǎn)，

綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).