Question

【題目】設函數f（x）＝｜3﹣2x｜+｜2x﹣a｜

（1）當a＝1時，求不等式f（x）≤3的解集；

（2）若存在x∈R使得不等式f（x）≤t++2對任意t＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）解法一：利用分類討論法去掉絕對值，解對應的不等式即可；

解法二：利用分段函數表示f（x），作出y＝f（x）和直線y＝3的圖象，利用圖象求出不等式的解集；

（2）由題意可得f（x）的最小值不大于t2的最小值，利用絕對值不等式求出f（x）的最小值，利用基本不等式求出t2的最小值，

再列不等式求得實數a的取值范圍．

（1）解法一：當a＝1時，f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣1|；

當x時，不等式f（x）≤3可化為：﹣2x+1﹣2x+3≤3，

解得x，此時x；

當x時，不等式f（x）≤3可化為為：2x﹣1﹣2x+3≤3，

此不等式恒成立，此時得x；

當x時，不等式f（x）≤3可化為：2x﹣1+2x﹣3≤3，

解得得x，此時x，

綜上知，x，即不等式的解集為[，]；

解法二：利用分段函數表示f（x）；

作出y＝f（x）和直線y＝3的圖象，如圖所示：

由f（x）＝3解得：x或x，

由圖象可得不等式的解集為[，]；

（2）由f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣a|≥|3﹣2x+2x﹣a|＝|3﹣a|＝|a﹣3|，

即f（x）的最小值為|a﹣3|，

由t2≥22＝6，當且僅當t，即t＝2時，取等號，

因為存在x∈R，使得不等式f（x）≤t2對任意t＞0恒成立，

所以|a﹣3|≤6，解得﹣3≤a≤9；

所以實數a的取值范圍是﹣3≤a≤9．