Question

（本小題滿分12分）
如圖，是直角梯形，又，
，直線與直線所成的角為．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）或 。

(I)證明即可.
(II) 取BC的中點N，連結AN,MN,可證出,
再作，交AC的延長線于H，連結MH，則由三垂線定理知，，
從而為二面角的平面角 ,然后解三角形求角即可.
解法一：
（Ⅰ）∵
∴，
又∵
∴                                  …………5分
（Ⅱ）取的中點，則，連結，
∵，∴，從而
作，交的延長線于，連結，則由三垂線定理知，，
從而為二面角的平面角                                  …………8分
直線與直線所成的角為
∴
在中，由余弦定理得
在中，
在中，
在中，
故二面角的平面角大小為                       …………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面內，過作，建立空間直角坐標系（如圖）

由題意有，設，
則
由直線與直線所成的解為，得
，即，解得
∴，設平面的一個法向量為，
則，取，得                     …………8分
平面的法向量取為
設與所成的角為，則
顯然，二面角的平面角為銳角，
故二面角的平面角大小為                           …………12分