Question

（本題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是矩形，，且側面是正三角形，平面平面，

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為45°.若存在，試求的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析；
（Ⅱ）在棱上存在點，當時，使得二面角的大小等于45°

本試題主要是考查了線線垂直的證明，以及二面角的求解的綜合運用。
（1）根據已知條件可得，線面垂直判定定理可以得到線線垂直的證明。
（2）需要合理建立空間直角坐標系，然后設出兩個半平面的法向量，然后借助于向量的數量積公式，表示得到向量的夾角，然后利用相等或者互補得到結論。
解：取中點，則由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面.以為原點，建立空間直角坐標系（如圖）.

則
……………………2分
（Ⅰ）證明：∵
……………………………………………………………………4分
∴，
∴，即.…………………………………6分
（Ⅱ）假設在棱上存在一點，不妨設
，
則點的坐標為，……………………………8分
∴
設是平面的法向量，則

不妨取，則得到平面的一個法向量.………10分
又面的法向量可以是
要使二面角的大小等于45°，
則45°=
可解得，即
故在棱上存在點，當時，使得二面角的大小等于45° …12分