Question

在矩形中，以所在直線為軸，以中點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．已知點的坐標為，E、F為的兩個三等分點，和交于點，的外接圓為⊙．

（1）求證：；
（2）求⊙的方程；
（3）設點，過點P作直線與⊙交于M，N兩點，若點M恰好是線段PN的中點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1），，根據。
(2) .
(3) ．

解析試題分析：（1）由題意可知，，，．
所以直線和直線的方程分別為:，，
由　解得 所以點的坐標為．     6分
所以，，
因為，所以，                8分
(2)由（1）知⊙的圓心為中點，半徑為，
所以⊙方程為 .               10分
(3) 設點的坐標為，則點的坐標為，
因為點均在⊙上，所以，
由②－①×4，得，
所以點在直線，      12分
又因為點在⊙上，
所以圓心到直線的距離
 ，            14分
即，
整理，得，即，
所以，故的取值范圍為．   16分

解法二：過作交于，
設到直線的距離，則
，
，
又因為
所以，，因為，
所以，所以，；
解法三：因為，，所以
所以，所以，．
考點：直線方程，直線垂直的條件，圓的方程，直線與圓的位置關系。
點評：中檔題，直線方程的考查中，點斜式是一重點考查內容。兩直線垂直的條件是，斜率乘積為-1，或一條直線斜率為0，另一直線的斜率不存在。直線與圓的位置關系問題，往往利用“幾何法”更為直觀、簡單。