Question

【題目】已知函數（＞0， ≠1， ≠﹣1），是定義在（﹣1，1）上的奇函數.

（1）求實數的值；

（2）當=1時，判斷函數在（﹣1，1）上的單調性，并給出證明；

（3）若且，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由函數是奇函數， 對定義域內的所有自變量成立，可得對定義域內的都成立，可得，從而可求出實數的值；（2）先先根據單調性的定義判斷并證明真數的單調性，分別兩種情況討論對數底數的范圍，結合復合函數的單調性即可判斷函數在上的單調性；（3）先根據得到的范圍，再結合其為奇函數把轉化為，利用第二問的單調性即可求出實數的取值范圍.

試題解析：（1）∵函數是奇函數，∴

∴∴；∴

∴，

整理得對定義域內的都成立．∴．

所以或（舍去）∴．

（2）由（1）可得；令

設，則

∵∴， ∴．

當時，，即．

∴當時， 在（﹣1，1）上是減函數．

當時， ，即．

∴當時， 在（﹣1，1）上是增函數．

（3）∵， ∴，

由，得，

∵函數是奇函數， ∴，

故由（2）得在（﹣1，1）上是增函數，∴

解得∴實數的取值范圍是。