Question

【題目】已知函數,．

(1)求函數的極值；

(2)對,不等式都成立,求整數k的最大值；

Answer 1

【答案】(1)極小值為無極大值；(2)3.

【解析】

求出函數的單調區間,然后求解函數的極值，

問題轉化為在上恒成立,令,,再求導, 分類討論,利用導數求出函數的最值,即可求出k的值．

解：,，

，

當時,，函數單調遞減,當時,，函數單調遞增,

當時,取得極小值,極小值為無極大值．

，,不等式都成立,

在上恒成立,

即在上恒成立,

令,,

,

當時,即時,在上恒成立,

在上單調遞增,

,

,此時整數k的最大值為2,

當時,令,解得,

當時,,函數單調遞減,當時,,函數單調遞增,

,

由,

令,

在上恒成立,

在上單調遞減,

又，,

存在使得,

故此時整數k的最大值為3,

綜上所述整數k的最大值3．