Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，直線：，點在直線上移動，是線段與軸的交點，動點滿足：，.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）若直線與曲線交于，兩點，過點作直線的垂線與曲線相交于，兩點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為-16.

【解析】

（1）由題意可得點到點的距離和到直線的距離相等，即，化簡即可得解；

（2）先設直線的斜率為，再求得關于的函數關系式，再利用重要不等式求解即可.

（1）由題意可知是線段的中點，因為，所以為的中垂線，

即，又因為，即點到點的距離和到直線的距離相等，

設，則，化簡得，

所以動點的軌跡方程為：.

（2）由題可知直線的斜率存在且不為0，設直線：，：，

則，聯立可得，

設，，則，.因為向量，方向相反，所以，

同理，設，，可得，

所以，因為，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為-16.