Question

【題目】已知函數，其中.

(1)當時，求函數在上的最大值和最小值；

(2)若函數為上的單調函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)，；（2）.

【解析】

（1）由得，對其求導，得到，解對應不等式，求出單調區間，進而可求出最值；

（2）先由得到函數不可能在上單調遞增，由題意，得到在上單調遞減，推出恒成立；令，用導數的方研究其單調性，進而可求出結果.

(1)當時，，所以.

由解得，由解得.

故函數在區間上單減，在區間上單增.

,

，；

(2) 因為，所以函數不可能在上單調遞增.

所以，若函數為上單調函數，則必是單調遞減函數，即恒成立.

由可得，

故恒成立的必要條件為.

令，則.

當時，由，可得，

由可得，

在.上單調遞增，在上單調遞減.

故

令，下證:當時，.

即證，令，其中，則，

則原式等價于證明:當時，.

由(1)的結論知，顯然成立.

綜上，當時，函數為上的單調函數，且單調遞減.