Question

函數f（x）=（sinx+3）（cosx-3）的值域為

 

．

Answer 1

分析：利用t=sinx+cosx，利用兩角和的正弦公式進行化簡后，由x的范圍求出t的范圍，由對t的式子兩邊平方后，由平方關系求出sinxcosx，代入解析式轉化為關于t的二次函數，對式子配方后利用二次函數的性質求出最值，就求出值域；

解答：解：f（x）=（sinx+3）（cosx-3）=sinxcosx-3sinx+3cosx-9
令cosx-sinx=t，則（cosx-sinx）²=cos²x-2sinxcosx+sin²x=1-2sinxcosx=t²
∴sinxcosx=

1-t2

2

整理得f（x）=

1-t2

2

+3t-9=-

1

2

(t-3)2-4
∵t=cosx-sinx=-

2

sin（x+θ）
由-1≤sin（x+θ）≤1可知-

2

≤t≤

2

，
將t的取值代入f（x）中可知-3

2

-

19

2

≤f(x)≤3

2

-

19

2

∴f（x）的值域為[-3

2

-

19

2

，3

2

-

19

2

]，
故答案為：[-3

2

-

19

2

，3

2

-

19

2

]

點評：本題的考點是復合三角函數的值域的求法，主要利用換元法和“sinx+cosx”與“sinxcosx”的關系，注意由函數的定義域和正弦（余弦）函數的值域，求出換元后的自變量的范圍，根據二次函數的性質求出函數的值域．