Question

設函數f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若x=0是F（x）的極值點，求實數a的值；
（2）若x＞0時，函數y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用x=0是F（x）的極值點，即F′（0）=0，可求a的值，再驗證導數的符號的改變；
（2）令h（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，求導函數可得h′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a，再求導函數S（x）=h″（x）=e^x-e^-x-2sinx，確定S（x）≥S（0）=0當x∈（0，+∞）時恒成立，從而可得函數h′（x）在[0，+∞）上單調遞增，h′（x）≥h′（0）=4-2a，當x∈（0，+∞）時恒成立，進而分類討論，即可確定實數a的取值范圍．

解答：解：（1）F（x）=e^x+sinx-ax，求導函數可得F′（x）=e^x+cosx-a．
因為x=0是F（x）的極值點，所以F′（0）=1+1-a=0，∴a=2．
當a=2時，若x＜0，F′（x）=e^x+cosx-a＜0；若x＞0，F′（x）=e^x+cosx-a＞0；
∴x=0是F（x）的極小值點，∴a=2符合題意；
（2）令h（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，則h′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a，S（x）=h″（x）=e^x-e^-x-2sinx．
因為S′（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0，當x＞0時恒成立，所以函數S（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴S（x）≥S（0）=0當x∈（0，+∞）時恒成立；
因此函數h′（x）在[0，+∞）上單調遞增，h′（x）≥h′（0）=4-2a，當x∈（0，+∞）時恒成立．
當a≤2時，h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）單調遞增，即h（x）≥h（0）=0．
故a≤2時，F（x）＞F（-x）恒成立．
當a＞2時，∵h′（x）在[0，+∞）上單調遞增，∴總存在x₀∈（0，+∞）使得在區間[0，x₀）上h′（x）＜0，
∴h（x）在區間[0，x₀）上遞減，而h（0）=0
∴當x∈（0，x₀）時，h（x）＜0，這與F（x）-F（-x）≥0對x∈[0，+∞）恒成立矛盾
∴a＞2不合題意
綜上a的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，考查恒成立問題，構造函數，用好導數是關鍵．